作 者：Michal Krizek, Pekka Neittaanmäki, Roland Glowinski, Sergey Korotov
出版商：Springer (2012年11月)
索书号：O151.1 /C749 /E
书评人：宋力强， 复旦大学数学科学学院
共轭梯度法和有限元方法从提出到现在已经超过50年了，毫无疑问，这两种方法已经深深地影响了解决科学和工程问题的方式。但是很少有人系统全面地了解这两种方法，小编个人认为，只是因为没有一本书把他们彻底讲清楚，毕竟去查资料还是很花费时间的。现在好了，有人帮我们整理好了，你要不要看呢？本书是一本论文集，涉及很多著名的数学家，小编就不一一赘述了。好吧，我承认没有找到关于作者的有用信息！
正式开始之前我们先科普一下。共轭梯度法是介于梯度下降法与牛顿法之间的一个方法，仅需利用一阶导数信息，避免了牛顿法需要存储和计算Hessian矩阵并求逆的缺点。此方法不仅能用于解决大型线性方程组，还能用于解决大型非线性最优化问题。其优点是存储量小，稳定性高，而且不需要任何外来参数。有限元法是一种求解偏微分方程边值问题近似解的数值方法。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。不要太崇拜我，看完这本书你也全都懂了！
然而在刚刚被提出的时候，有限元方法被看做是Galerkin方法的特殊情况，共轭梯度法只被看作是介于迭代法和直接求解法之间的一个有限步停止的方法。但是只用了几年的时间，大家就意识到这两种方法具有自己独特的优点，它们的潜在能力远远比我们当初发现的要多得多！它们的应用涉及非常广，而且还有很多应用需要我们去发掘。是不是跃跃欲试了，但是仰望星空需要脚踏实地，我们还是先把这两种方法的来龙去脉以及现有应用搞清楚再说吧！
本书的内容是非常丰富的，总共分为四个部分，分别是共轭梯度法、有限元方法、这两种方法在线性和非线性偏微分方程中的应用以及它们最前沿的应用。作者首先给大家展示了共轭梯度法的历史以及关于此方法的一些基本知识，最重要的是讲述了共轭梯度法和有限元方法的互补性。说实话，这两种方法小编都有学过，但是直到看了本书才知道这两种方法之间居然有联系！接着作者分别详细地介绍了这两种方法。关于共轭梯度法，作者更注重算法以及算法的实现，主要讲述了算法的并行，区域分解方法等。对于有限元方法，作者注重的是网格分割的质量。对网格施加特殊的几何条件可以得到单调刚度矩阵，同时可以检测是否保证了离散极大值原理的有效性。对于应用，也是由浅入深地讲解，先讲述了共轭梯度法在线性和非线性偏微分方程的初边值问题中的应用以及相关的实现技巧。共轭梯法在电脑中实现时需要用到近似方法是非常常见的，而这些近似方法中就包括有限元算法。同时此部分还涉及到共轭梯度在一些最优控制问题中的应用。最后一部分的应用算是本书的亮点，涉及最前沿的应用，包括图像处理，气液反应器等，小编决定卖个关子，不说了！
本书最大的特点就是全面！拿共轭梯度来说，作者在开篇就介绍了共轭梯度的创始人，小编不得不忏悔一下，虽然共轭梯度在上数值线性代数课时就知道了，但是在遇到这本书之前，我真不知道它爸是谁！接着作者介绍了共轭梯度怎么在电脑上实现，在实现的过程中需要哪些技巧。这些技巧中包括算法的并行。并行算法就是用多台处理机联合求解问题的方法和步骤，其执行过程是将给定的问题首先分解成若干个尽量相互独立的子问题，然后使用多台计算机同时求解它，从而最终求得原问题的解。这是大型计算机出现之后才火起来的方法，作者告诉我们的都是最新的，当然这也是本书的一大特色！
另外，本书注重知识点的结合。或许很多读者在一看到书名的时候就有疑问，为什么要把共轭梯度法和有限元方法放在一起讲？答案是这两种方法在很多问题中是互补的，作者在书中也详细阐述了这一观点。显然，在涉及到某些希尔伯特空间中的变分问题时，直接运用有限元方法或是经过某些改进是最有效的。另一方面，共轭梯度法不仅仅限制在求解有限维线性问题，事实上，它也为任意维的希尔伯特空间的变分问题提供了一般的解法。在六十年代，很多专家学者通过将这两种方法结合，设计出了求解复杂多维问题的算法。
本书另一个比较突出的特点是书中的应用也是由浅入深的。先是介绍共轭梯度法和有限元方法最基本的应用，即他们在线性和非线性偏微分方程中的应用，接着介绍了它们最前沿的应用，从图像处理到计算物理。这些都是我们生活中常见的应用，让我们切实感觉到数学不仅仅是纸上谈兵，它确实涉及到我们生活的方方面面。
一本书不但介绍了两种方法的来龙去脉，而且介绍了它们之间的联系。并且包含了最近最新的成果，想要系统学习这两种方法的读者一定不要错过，绝对会节省很多查找资料的时间。饭已上桌，快来吃呀！
本书的章节目录
第一部分 基础
共轭梯度法的创始人
共轭梯度法和有限元方法
共轭梯度法和其他方法的几个解释
第二部分 共轭梯度法
Krylov方法的收敛性和Rite值
Shermann-Morrison公式在GMRES方法中的一个应用
基于区域分解和非光滑聚合的并行共轭梯度法
有限元问题的预条件共轭梯度法
非线性非凸优化的非光滑方程方法
第三部分 有限元
非标准非钝角平面三角剖分的改进
锐角四面体化和钝角四面体化
自适应网络的后验误差
第四部分 在线性和非线性偏微分方程中的应用
线性抛物偏微分方程数值解法中的三角矩阵反演和非负性
离散抛物问题非负保护
交错网格空间离散化麦斯威尔方程组的迭代解法
希尔伯特空间中线性变分问题的迭代解法：共轭梯度法成功的例子
预处理算子在非线性椭圆问题中的应用
解障碍问题的共轭梯度/牛顿/罚函数法. 在狄利克雷边界条件的镜像系统
中的应用
第五部分 前沿应用：从图像处理到计算物理
双线性矩形元素在全景图像重建中的应用
气液反应器多相流的有限元离散化与迭代求解法
可压缩欧拉方程有限元模拟的隐式通量修正传输算法
预条件共轭梯度法在核反应堆临界问题求解中的应用