作者：Erwin Kreyszig
出版商：JOHN WILEY & SONS, INC,2006年
书评人: 陆立强，复旦大学数学学院
随着人类科技水准的不断提高，数学方法在工程技术和科学研究领域中的应用之广、之深超乎常人的想象，一些原本需要耗费宝贵的时间、花费大量人力物力的测试、验证过程逐渐被数学公式和计算机模拟代替，有一种观点认为现代工程技术的核心是数学知识和技能在各学科领域中的应用。因此，对于以培养具有创新能力的工程师（在中国大陆被称为“卓越工程师计划”）为目标的高校，以微积分、线性代数、概率统计为核心的数学基础就显得不够了，许多工科专业，如土木、机械、电子、通信等，会根据各学科的特点要求学生补充学习相关的数学知识：复变函数、微分方程、特殊函数等，这些课程被统称为“工程数学”。早在上世纪80年代，高等教育出版社就组织有关高校教师编写了“工程数学”系列教材，包含《线性代数》、《数学物理方程与特殊函数》、《积分变换》、《矢量分析与场论》等，目前该系列教材已经发行了四至五版，并新增了《计算方法》。
在欧美等国，工程数学教材的历史则更为久远，以《Advanced Engineering Mathematics》为题的教材也屡见不鲜，其中Erwin Kreyszig（1922-2008）教授编写、John Wiley出版的教材影响尤为广泛。
1.作者简介
Kreyszig教授出生在德国，在达姆斯塔特大学（University of Darmstadt）学习物理和数学，并于1949年获得数学博士学位。在欧洲从事复变函数和微分几何研究之后，于1954年赴美国工作，先后在斯坦福大学、俄亥俄州立大学等高校任职，1957年被后者聘为教授，期间编写并首次出版了《Advanced Engineering Mathematics》（《高等工程数学》，以下简称：本书）。1960年后，他又先后在德国的格拉斯、杜塞尔多夫、卡尔斯鲁厄等地的高校、科研机构负责管理工作并承担研究任务。1973年到加拿大温莎大学（University of Windsor）工作,随后于1984年受聘于卡尔顿大学（Carleton University），并以“杰出研究教授”的荣衔从该校退休。
Kreyszig教授在复变函数、微分几何、偏微分方程和数学史等方面有广泛的涉猎，发表了176篇论文和36个大会报告，先后两次入选加拿大数学会执委会。在研究和管理工作之余，他还热衷于编写教材，出版过14本教材（含重版）。
2.总体风格
本书包含了7部分内容：常微分方程、线性代数和向量微积分、傅里叶变换和偏微分方程、复分析、数值计算、优化和图论、概率统计等，虽然它们属于数学的不同分支，但因其在解决工程实际问题所发挥的必不可少的作用，所以被整合在一起作为工程数学的核心内容，并且要求学生在学习过程中既对有关的数学体系有系统的掌握，更能在实践中自觉使用这些工具解决实际问题。因此本书的一个最大特点就是数学建模思想贯穿全书，在概念的引入、方法的讲述、例题和案例、习题和课题等各个环节都安排了丰富的数学建模内容。可想而知，采用
这种教材所培养的工程技术人才在应用数学思维解决实际问题中所显示的主动性和创造性，远非那些只是在课堂上被灌输抽象数学定义和概念、课后比拼习题和考试题目难度的学生可比。
3.主要亮点
3.1常微分方程内容丰富完整
常微分方程是描述许多常见的工程技术问题的工具，成为工科学生必不可少的数学知识之一。本书用6个章节、270页，几乎占全书四分之一的篇幅，由浅到深，讲述了一阶/二阶/高阶微分方程、微分方程组的定性理论、常微分方程的特殊函数及拉普拉斯变换求解法等几乎全部经典常微分方程知识。
国内高校数学教育界普遍认为中国大学生的数学能力比美国学生要强，如果仅仅对比我们的《高等数学》和美国的《微积分》教材，无疑是正确的，但是，国内一般把常微分方程内容纳入高等数学范畴进行教学，其深度和广度显得不足，因此，如果综合考虑工科对本科学生数学知识和技能的要求，以上看法的正确性还有待商榷，事实上不少在欧美留学的大陆学生反映国外数学要求比想象中的要高出不少。这是不是影响我国大学生创新思想和能力培养的一个因素，值得我们考虑。
尽管内容广且难，但是在安排中，作者还是把数学建模思想与数学概念和方法的结合的特点发挥得淋漓尽致。例如，第一章第一节的标题就取名为“基本概念、建模”，紧接着，用9幅图片表述一些基本问题的常微分方程模型。如此的直接和随性，对于习惯于数学概念的完整和严谨的人而言简直是不可思议，但当一个工科大学生看到这样的图片时，就会减少对高高在上的数学知识的恐惧；一些概念的引入和说明也结合建模案例，使学生充分领略数学在解决实际问题中的作用，因而愿意学习并努力应用。
3.2偏微分方程内容重点突出
我国在偏微分方程问题的研究和应用已经具有国际水平，国内出版过不少优秀的教材，在“工程数学”系列教材中，与之相关的《数学物理方程与特殊函数》、《积分变换》教材也有多个版本，其中东南大学编写的教材使用比较多，影响广泛。
相比之下，本书在相关内容的布局和安排上颇具特点。首先，把“傅里叶变换”单列一章并且冠以“傅里叶分析”的名字，相应地，内容也更为丰富完整，从基本的傅里叶级数开始，到周期函数和间断函数的展开、Sturm–Liouville 问题，乃至在信息技术中普遍应用的快速傅里叶变化，本书全部包含。相比之下，国内教材大多把这部分内容分列在“高等数学”、“积分变换”中，学生没有对这部分内容的整体印象，对它们的最新应用更是缺乏了解。
偏微分方程内容则重点围绕方程的建立和边界（初始）条件的确定而展开，深刻的定性分析理论则基本略去。由于特殊函数和积分变换的背景和技术在前面单独作了完整的介绍，因此偏微分方程的求解方法就变得水到渠成，无需多费笔墨。这种处理的另一个重要原因是作者认识到如果没有数值计算工具的帮助，实际问题微分方程模型的求解几乎是不可能的，因此要求工科学生化相当多的时间学习微分方程解析解的求法有些得不尝试。
3.3数值计算内容科学合理
数学建模思想和工程技术问题的紧密结合离不开计算方法的日趋成熟和计算机性能的不断提高，作者充分认识到这一点并极力推荐学生应用数学软件解决实际问题。但是考虑到教师和学生不同的基础，作者并没有采取一刀切的方法，在内容安排上给教师提供了不用、少量使用、部分使用和大量使用等多种选择，具体主要通过习题设计来体现，包含了必须用人工推演的题目，其中有简单的联系也有较难的问题；有的习题则提示学生应用数学软件来完成；而每个章节安排的CAS（计算机算法系统）课题则要求学生必须用数学软件才能得到解决。
为了帮助学生理解数学软件，本书专门设立了“数值计算”模块，由基本概念、矩阵计算和微分方程数值解等三部分内容组成。值得一提的是，本书作者和他的合作者还为两种主流数学软件—Maple和Mathematica分别编写了配套的辅导教材，指导学生如何科学合理地应用软件，有了如此以人为本的教材，学生又何以视数学为危途呢？
3.4优化内容与时俱进
作者注意到来自物流、管理、金融、社会、网络等非传统数学建模领域提出了许多优化问题，相关数学方法的研究在上世纪40年代起突飞猛进，因此在本书中专设“优化和图论”模块讲述有关内容。这种与时俱进，将教学内容密切联系实际应用的尝试和努力，值得我们借鉴。
4.结论
目前中国高等教育正面临培养创新人才群体的挑战，在工程技术领域，使用数学工具能力的高低无疑是衡量创新能力的重要指标。为此复旦大学李大潜院士在多种场合倡导把数学建模思想融入数学主干课程，国内也有不少数学教师开始进行各种尝试。作为以工程、科学专业学生为主要读者的教材，本书以诞生近50年，再版10次的骄人成绩，为我们提供了一个成功的范例。
5.主要内容目录
A篇 常微分方程
第一章 一阶常微分方程
1.1 基本概念 建模
1.2的几何意义 方向场 Eular方法
1.3 可分离变量常微分方程 建模
1.4 恰当常微分方程 积分因子
1.5 线性常微分方程 Bernoulli方程 人口动态系统
1.6 正交轨线（可选）
1.7 初值问题解的存在性和唯一性
第二章 二阶线性常微分方程
2.1 二阶齐次线性常微分方程
2.2 常系数齐次线性常微分方程
2.3 微分算子（可选）
2.4 弹簧系统自由振动的建模
2.5 Eular-Cauchy方程
2.6 解的存在性和唯一性 郎斯基行列式准则
2.7 非齐次常微分方程
2.8 建模：受迫振动 共振
2.9 建模：电路
变参数解
第三章 高阶线性常微分方程
3.1 齐次线性常微分方程
3.2 常系数齐次线性常微分方程
3.3 非齐次线性常微分方程
第四章 常微分方程系统 相平面 定性方法
4.0 参考材料：矩阵、向量基础
4.1 工程应用中的常微分方程系统模型
4.2 常微分方程系统的基本理论 郎斯基行列式准则
4.3 常系数方程系统 相平面方法
4.4 临界点的判定准则 稳定性
4.5 非线性常微分方程系统的定性方法
4.6 非齐次线性常微分方程系统
第五章 常微分方程的级数解 特殊函数
5.1 幂级数方法
5.2 Legendre方程 Legendre多项式
5.3 幂级数方法的推广：Frobenius方法
5.4 Bessel方程 Bessel函数
5.5 的Bessel函数 广义解
第六章 Laplace 变换
6.1 Laplace 变换 线性化 第一移位定理(s-移位)
6.2 导数和积分的变换 常微分方程
6.3 单势函数 第二移位定理(t-移位)
6.4 激波 狄拉克δ函数 部分分式
6.5 卷积 积分方程
6.6 变换的求导和求积 可变系数的常微分方程
6.7 常微分方程系统
6.8 Laplace变换：一般公式
6.9 Laplace变换表
B篇 线性代数 向量微积分
第七章 线性代数：矩阵、向量、行列式、线性方程组
7.1 矩阵、向量：加法和数量积
7.2 矩阵乘法
7.3 线性方程组 Gauss消元法
7.4 线性无关 矩阵的秩 向量空间
7.5 线性方程组的解:存在性、唯一性
7.6 参考资料：二阶、三阶行列式
7.7 行列式 Cramer法则
7.8 矩阵的逆 Gauss-Jordan消元法
7.9 向量空间 内积空间 线性变换（可选）
第八章 线性代数：矩阵特征值问题
8.1 矩阵特征值问题 特征值和特征向量的计算
8.2 特征值问题的若干应用
8.3 对称、偏对称、正交矩阵
8.4 本征基、对角化、二次型
8.5 复矩阵和范数（可选）
第九章 向量微分 梯度、散度、旋度
9.1 二、三维空间的向量
9.2 内积（点积）
9.3 向量积（叉积）
9.4 向量、标量函数和向量场、标量场 向量微积分：导数
9.5 曲线弧长 曲率 挠率
9.6 微积分回顾：多元微积分（可选）
9.7 标量场的梯度 方向导数
9.8 向量场的散度
9.9 向量场的旋度
第十章 向量积分 积分定理
10.1 线积分
10.2 线积分的路径依赖性
10.3 微积分回顾：两重积分（可选）
10.4 平面上的Green公式
10.5 曲面积分中的曲面
10.6 曲面积分
10.7 三重积分 Gauss散度公式
10.8 散度公式的进一步应用
10.9 Stokes公式
C篇 Fourier分析 偏微分方程
第十一章 Fourier分析
11.1 Fourier级数
11.2 任意区间 奇、偶函数 半幅展开
11.3 受迫振动
11.4 三角多项式逼近
11.5 Sturm-Liouville问题 正交函数
11.6 正交级数 广义Fourier级数
11.7 Fourier积分
11.8 Fourier正弦和余弦变换
11.9 Fourier变换 离散和快速Fourier变换
11.10 变换表
第十二章 偏微分方程
12.1 偏微分方程的基本概念
12.2 建模：振弦、波动方程
12.3 分离变量法 Fourier级数的使用
12.4 波动方程的D’Alembert解 特征线
12.5 建模：空间物体的热流 热传导方程
12.6 热传导方程：Fourier级数解 稳态二维热传导问题 Dirichlet问题
12.7 热传导方程：甚长干体问题的建模 采用Fourier积分和变换求解
12.8 建模：薄膜问题 二维波动方程
12.9 矩形薄膜 双重Fourier级数
12.10 极坐标下的Laplace变换 圆形薄膜 Fourier-Bessel级数
12.11 柱体和球体坐标下的Laplace方程 势
12.12 用Laplace变换求解偏微分方程
D篇 复分析
第十三章 复数、复函数 复微分
13.1 复数及其几何表达
13.2 复数的极坐标形式 幂和根
13.3 导数 解析函数
13.4 Cauchy-Riemann方程 Laplace方程
13.5 指数函数
13.6 三角和双曲函数 Euler公式
13.7 对数 广义幂 主值
第十四章 复积分
14.1 复平面上的线积分
14.2 Cauchy积分定理
14.3 Cauchy积分公式
14.4 解析函数的导数
第十五章 幂级数 Taylor级数
15.1 数列 级数 收敛准则
15.2 幂级数
15.3 用幂级数定义函数
15.4 Taylor级数和Maclaurin级数
15.5 一致收敛（可选）
第十六章 Laurent级数 留数积分
16.1 Laurent级数
16.2 奇异点和零点 无穷
16.3 留数积分方法
16.4 实数积分的留数积分
第十七章 共性映射
17.1 解析函数的几何意义：共性映射
17.2 线性分式变换((Möbius变换)
17.3 特殊线性分式变换
17.4 其他函数的保形映射
17.5 Riemann曲面（可选）
第十八章 复分析和势论
18.1 静电场
18.2 保形映射的应用 建模
18.3 热传导问题
18.4 液体流
18.5 势的Poisson积分公式
18.6 调和函数的一般性质 Dirichlet问题的唯一性定理
E篇 数值分析
软件
第十九章 一般数值计算
19.1 引言
19.2 迭代法求根
19.3 插值
19.4 样条插值
19.5 数值积分和数值微分
第二十章 数值线性代数
20.1 线性方程组：Gauss消元解法
20.2 线性方程组：LU分解，矩阵求逆
20.3 线性方程组：迭代求解法
20.4 线性方程组：条件数 范数
20.5 最小二乘法
20.6 矩阵特征值问题：引言
20.7 矩阵特征值的内涵
20.8 特征值的幂解法
20.9 三对角化和QR分解
第二十一章 微分方程数值解法
21.1 一阶常微分方程解法
21.2 多步法
21.3 常微分方程组和高阶常微分方程解法
21.4 椭圆型偏微分方程解法
21.5 Neumann和混合问题 不规则边界
21.6 抛物型偏微分方程解法
21.7 混合型偏微分方程解法
F篇 优化、图论
第二十二章 无约束优化 线性规划
22.1 基本概念 无约束优化：最速下降法
22.2 线性规划
22.3 单纯形法
22.4 单纯形法：难点
第二十三章 图论 组合优化
23.1 图和Digraph法
23.2 最短路径问题 复杂性
23.3 Bellman原理 Dijkstra算法
23.4 最短跨度树：贪婪算法
23.5 最短跨度树：Prim算法
23.6 网络流
23.7 最大流：Ford-Fulkerson算法
23.8 二分图 指派问题
G篇 概率 统计
软件
第二十四章 数据分析 概率论
24.1 数据表示方式 平均 范围
24.2 试验、结果、事件
24.3 概率
24.4 排列和组合
24.5 随机变量 概率分布
24.6 分布的均值和方差
24.7 二项分布 Poisson分布 超几何分布
24.8 正态分布
24.9 多元随机变量的分布
第二十五章 数理统计
25.1 引言 随机抽样
25.2 参数点估计
25.3 置信区间
25.4 假设检验 决策
25.5 质量控制
25.6 验收抽样
25.7 拟合优度 χ2检验
25.8 非参数检验
25.9 回归 直线拟合 相关性
6.书评作者简介
陆立强，复旦大学数学学院副教授，中国工业与应用数学学会理事、上海市工业与应用数学学会副理事长兼秘书长，从事工业应用数学的研究。2004-2011年担任教育部数学与统计学教学指导委员会秘书工作。